Question

选修4-5：不等式选讲
设函数f（x）=|x-a|+|x-4|．
（ I）当a=1时，求f（x）的最小值；
（ II）如果对?x∈R，f（x）≥1，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（ I）当a=1时，函数f（x）=|x-1|+|x-4|=

5-2x ， x≤1 3 ，  1＜x＜4 2x-5 ，  x≥4

，作出函数f（x）的图象，由图象可得函数f（x）的最小值．
（II）由绝对值得意义可得|x-a|+|x-4|≥|a-4|，故有|a-4|≥1，由此求得实数a的取值范围．

解答：解：（ I）当a=1时，函数f（x）=|x-a|+|x-4|=|x-1|+|x-4|=

5-2x ， x≤1 3 ，  1＜x＜4 2x-5 ，  x≥4

，
作出函数f（x）的图象，如图所示：

由图象可得函数f（x）的最小值等于3．
（ II）如果对?x∈R，f（x）≥1，故|x-a|+|x-4|≥1对任意实数x都成立，
∵由绝对值得意义可得|x-a|+|x-4|≥|a-4|，∴|a-4|≥1，
∴a-4≥1 或a-4≤-1，解得 a≥5 或a≤3，
故实数a的取值范围（5，+∞）∪（-∞，3）．

点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．