Question

已知命题P：方程

x2

4-t

+

y2

t-1

=1所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆；命题q：关于实数t的不等式t²-（a+3）t+（a+2）＜0
（1）若命题P为真，求实数t的取值范围；
（2）若命题P是命题q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据方程表示椭圆的条件列出4-t＞t-1＞0，求出t的范围即可．
（2）利用命题P是命题q的充分不必要条件，推出1＜t＜

5

2

是不等式t²-（a+3）t+（a+2）＜0解集的真子集，直接求解即可．

解答：解：（1）∵方程

x2

4-t

+

y2

t-1

=1所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆，
∴4-t＞t-1＞0（4分）
解得：1＜t＜

5

2

（7分）

（2）∵命题P是命题q的充分不必要条件
∴1＜t＜

5

2

是不等式t²-（a+3）t+（a+2）＜0解集的真子集（10分）
因方程t²-（a+3）t+（a+2）=0两根为1，a+2故只需a+2＞

5

2

（12分）
解得：a＞

1

2

（14分）

点评：本题是中档题，考查椭圆的基本性质，命题的充分性与必要性的关系，考查计算能力，逻辑推理能力，注意子集的应用．