Question

已知斜率为的直线l过点（0，-2）和椭圆C：+=1 （a＞b＞0）的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P，Q，R都在椭圆C上，PQ、PR分别过点M₁（-1，0）、M₂（1，0），设=λ，=μ，当P点在椭圆C上运动时，试问λ+μ是否为定值，并请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用点斜式即可得出直线l的方程，令y=0即可得出椭圆的焦点（c），利用轴对称的性质即可得出原点关于l的对称点，利用准线方程x=即可得出a，再利用b²=a²-c²即可；
（2）设P（x，y），Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂），
i）当x=x₁=-1时，ii）当x=x₂=-1时，容易得出λ+μ的值为定值；
iii）当x≠x₁且x≠x₂时，利用向量运算及相等可得x₁，y₁与x，y及λ的关系，同理得到x₂，y₂与x，y及μ的关系，再代入椭圆的方程即可得出．
解答：解：（1）由题意可得直线，令y=0，解得x=2，∴c=2．
∴椭圆的焦点为（±2，0），
设原点关于l的对称点为（x，y），
则，解得x=3，即，a²=6，∴b²=a²-c²=2．
∴椭圆的方程为．
（2）设P（x，y），Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂），
i）当x=x₁=-1时，，，
ii）同理当x=x₂=-1时，
iii）当x≠x₁且x≠x₂时，
由题意得
代入椭圆方程，即，
又，有，
即5λ²-（2x+2）λ+2x+7=0（5λ-2x-7）（λ-1）=0，
同理可得，
∴．
点评：熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、轴对称的性质、点在椭圆上转化为点的坐标适合题意的方程、向量的运算与相等等是解题的关键．