Question

数列{a_n}的前n项和S_n，当n≥1时，S_n+1是a_n+1与S_n+1+k的等比中项（k≠0）．
（1）求证：对于；
（2）设，求S_n；
（3）对n≥1，试证明：S₁S₂+S₂S₃+…+S_nS_n+1

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意知S_n+1²=（S_n+1-S_n）（S_n+1+k），-S_n+1S_n+k（S_n+1-S_n）=0，等式两边同除
由此可知．
（2）由（1）知：，由此可知．
（3）S₁S₂+S₂S₃+…+S_nS_n+1===．
解答：证明：（1）由S_n+1²=a_n+1•（S_n+1+k）而a_n+1=S_n+1-S_n
∴S_n+1²=（S_n+1-S_n）（S_n+1+k）
∴-S_n+1S_n+k（S_n+1-S_n）=0
等式两边同除
∴；（4分）
（2）由（1）知：为首项，
以为公差的等差数列，
∴
∴；（8分）
（3）S₁S₂+S₂S₃+…+S_nS_n+1
=
=
=．（12分）
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．