Question

10．在平面直角坐标系xoy中，动点A的坐标为（2-3sinα，3cosα-2），其中α∈R．以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的方程为ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=a．
（Ⅰ）判断动点A的轨迹表示什么曲线；
（Ⅱ）若直线l与动点A的轨迹有且仅有一个公共点，求实数a的值．

Answer 1

分析 （I）利用sin²α+cos²α=1即可得出动点A的轨迹方程；
（II）直线l的极坐标方程ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=a化为直角坐标方程，利用直线与圆的位置关系即可得出．

解答 解：（Ⅰ）设动点A的直角坐标为（x，y），则$\left\{\begin{array}{l}x=2-3sinα\\ y=3cosα-2\end{array}\right.$，
∴动点A的轨迹方程为（x-2）²+（y+2）²=9，
其轨迹是以（2，-2）为圆心，半径为3的圆．
（Ⅱ）直线l的极坐标方程ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=a化为直角坐标方程是x+y=$\sqrt{2}$a．
由$\frac{{|2-2-\sqrt{2}a|}}{{\sqrt{2}}}$=3，得a=3，或a=-3．

点评 本题考查了参数方程化为直角坐标方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．