Question

已知F₁，F₂为双曲线左，右焦点，以双曲线右支上任意一点P为圆心，以|PF₁|为半径的圆与以F₂为圆心，

1

2

|F₁F₂|为半径的圆内切，则双曲线两条渐近线的夹角是（　　）

• A、

  π

  4

• B、

  π

  2

• C、

  π

  3

• D、

  2π

  3

Answer 1

分析：由题意可得|PF₁|-

1

2

|F₁F₂|=|PF₂|，再由双曲线的定义可得 2a=c，

b

a

=

c2-a2

a

=

3

，
故两渐近线的斜率分别为

3

 和-

3

，倾斜角分别为

π

3

和

2π

3

，从而得到两条渐近线的夹角．

解答：解：由题意可得|PF₁|-

1

2

|F₁F₂|=|PF₂|，即|PF₁|-|PF₂|=c，再由双曲线的定义可得
2a=c，∴

b

a

=

c2-a2

a

=

3

，故两渐近线的斜率分别为

3

 和-

3

，倾斜角分别为

π

3

和

2π

3

，
故两条渐近线的夹角是

2π

3

- 

π

3

=

π

3

，
故选 C．

点评：本题考查双曲线的定义，以及双曲线的简单性质的应用，两圆相内切的性质，两渐近线的斜率和倾斜角，求得
 

b

a

=

c2-a2

a

=

3

，是解题的关键．