Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为CD、DD₁的中点，则异面直线EF与A₁C₁所成角的余弦值为

1

2

．

Answer 1

分析：取AD中点G，连结GF、GE，由正方体的性质，可得∠GEF就是异面直线EF与A₁C₁所成角．设正方体的棱长等于2，
可得△GEF是边长等于

2

的等边三角形，从而可得∠GEF=60°，由此即得异面直线EF与A₁C₁所成角的余弦值．

解答：解：取AD中点G，连结GF、GE
由正方体的性质，可得EG∥A₁C₁，∠GEF就是异面直线EF与A₁C₁所成角
设正方体的棱长等于2，可得
△GEF中，GE=GF=EF=

2

∴∠GEF=60°，得cos∠GEF=

1

2

即异面直线EF与A₁C₁所成角的余弦值为

1

2

故答案为：

1

2

点评：本题在正方体中求异面直线所成的角，着重考查了正方体的性质、勾股定理和异面直线所成角的定义及求法等知识，属于中档题．