Question

、已知函数f(x)=－x³＋3x²＋9x＋a,

（I）求f(x)的单调递减区间；

（II）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．

Answer 1

解题分析：三次函数是高考导数部分依托的主要函数，本题主要考查导数法求函数的单调区间和函数的最值问题，属于常规问题。   

解：（I） f ’(x)＝－3x²＋6x＋9．令f ‘(x)<0，解得x<－1或x>3，

     所以函数f(x)的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．

    （II）因为f(－2)＝8＋12－18＋a=2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，

     所以f(2)>f(－2)．因为在（－1，3）上f ‘(x)>0，所以f(x)在[－1, 2]上单调递增，又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值，于是有 22＋a＝20，解得 a＝－2．   

故f(x)=－x³＋3x²＋9x－2，因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，

即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7．

解题回顾：三次函数是高考导数部分依托的主要函数，对于三次函数性质的研究是近年来导数考查的重点内容。