题目内容

（文）已知函数f（x）=x³+ax²-ax-1（a＞0），设f′（x）的最小值为- $数学公式$
（I）求a的值；
（II）求f（x）在[-1，m]上的最大值g（m）．

解：（I）∵f（x）=x³+ax²-ax-1（a＞0），
∴f′（x）=3x²+2ax-a=3（ $\text{[math]}$ ）²- $\text{[math]}$ ，
∵f′（x）的最小值为- $\text{[math]}$ ，
∴当 $\text{[math]}$ 时，f′（x）取最小值 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得a=1或a=-4（舍）
故a的值为1．…（4分）
（II）f（x）=x³+x²-x-1=（x+1）²（x-1），
f′（x）=3x²+2x-1=（3x-1）（x+1），…（6分）
当x变化时，f′（x）、f（x）的变化如下表：

x	（-∞，-1）	1	（-1， $\text{[math]}$ ）	$\text{[math]}$	（ $\text{[math]}$ ，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	极大值0	↓	极小值 $\text{[math]}$	↑

当-1＜m＜1时，g（m）=f（-1）=0；
当m≥1时，g（m）=f（m）=m³+m²-m-1，
∴g（m）= $\text{[math]}$ ．…（12分）
分析：（I）f′（x）=3x²+2ax-a=3（ $\text{[math]}$ ）²- $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，f′（x）取最小值 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，由此能求出a．
（II）f（x）=x³+x²-x-1=（x+1）²（x-1），f′（x）=3x²+2x-1=（3x-1）（x+1），列表讨论能求出f（x）在[-1，m]上的最大值g（m）．
点评：本题考查利用导数求函数最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．