Question

已知△ABC中，角A，B，C对应的边为a，b，c，sinB=

3

3

，A=2B．
（1）求sinC的值；
（2）若角A的平分线AD的长为2，求b的值．

Answer 1

分析：（1）由A，B，C都为三角形的内角，且A=2B，得到B为锐角，由sinB的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值，再由cosA=cos2B，利用二倍角的余弦函数公式化简后将sinB的值代入求出cosA的值，再利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，由sinC=sin（A+B），利用两角和与差的正弦函数公式化简后将各自的值代入即可求出sinC的值；
（2）由AD为角平分线，得到∠DAC=∠B，由sinB及cosB的值，得到sin∠DAC与cos∠DAC的值，在三角形ADC中，先利用正弦定理求出DC的长，再利用余弦定理列出关于b的方程，求出方程的解即可得到b的值．

解答：解：（1）∵△ABC的角A，B，C，A=2B，
∴B为锐角，又sinB=

3

3

，
∴cosB=

1-sin2B

=

6

3

，
∴cosA=cos2B=1-2sin²B=

1

3

，sinA=

1-cos2A

=

2 2

3

，
则sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=

2 2

3

×

6

3

+

1

3

×

3

3

=

5 3

9

；
（2）∵AD为∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD=

1

2

∠BAC，又∠BAC=2∠B，
∴∠CAD=∠B，
∴sin∠CAD=sinB=

3

3

，cos∠CAD=cosB=

6

3

，
在△ADC中，AD=2，AC=b，sin∠CAD=

3

3

，sinC=

5 3

9

，
根据正弦定理

DC

sin∠CAD

=

AD

sinC

得：DC=

2× 3 3

5 3 9

=

6

5

，
利用余弦定理得：DC²=AD²+AC²-2AD•AC•cos∠CAD，
即（

6

5

）²=4+b²-

4 6

3

b，
整理得：b²-

4 6

3

b+

64

25

=0，
解得：b=

4 6

5

或b=

8 6

15

．

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．