Question

设椭圆=1(a＞b＞0)的两焦点为F₁、F₂，若在椭圆上存在一点P，使·=0，求椭圆的离心率e的取值范围.

Answer 1

分析：主要考虑利用椭圆的定义、离心率的概念以及函数与方程思想来解决.

解：解法一：如右图所示

设F₁（-c,0）,F₂(c,0),P(x₀,y₀),

则|PF₁|=a+ex₀,

|PF₂|=a-ex₀,|F₁F₂|=2c

∵·=0，∴⊥，

∴|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²，

即(a+ex₀)²+(a-ex₀)²=4c²e²x₀²=2c²-a²，据题意，P点在椭圆上，但不在x轴上，∴0≤x₀²＜a²,∴0≤e²x₀²＜c²,

于是0≤2c²-a²＜c²,即≤c²＜a²≥,＜1,∴e∈［,1).

解法二：∵·=0，∴⊥，

∴P点在以F₁F₂为直径的圆上，又P点在椭圆上，

∴圆x²+y²=c²与椭圆=1有公共点，

由图知，b≤c＜ab²≤c²＜a²,即a²-c²≤c²＜a²,

∴≤c²＜a²≤＜1,∴e∈［,1).

点拨：对于条件·=0，即⊥可作多种变化，本题也可以改为“当∠F₁PF₂为某锐角或钝角时，求离心率e的取值范围.”