Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=-a_n-（

1

2

）^n-1+2（n∈N^*）．
（1）令b_n=2ⁿa_n，求证：数列{b_n}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式．
（2）令c_n=

n+1

n

an，Tn=c1+c2+…+cn，试比较T_n与

5n

2n+1

的大小，并予以证明．

Answer 1

分析：（1）由题意知S₁=-a₁-1+2=a₁，a1=

1

2

，an=Sn-Sn-1=-an+an-1+(

1

2

)n-1所以2ⁿa_n=2^n-1a_n-1+1，b_n=b_n-1+1，再由b₁=2a₁=1，知数列b_n是首项和公差均为1的等差数列．于是b_n=1+（n-1）•1=n=2ⁿa_n，所以an=

n

2n

（2）cn=

n+1

n

an=(n+1)(

1

2

)n，Tn=2×

1

2

+3×(

1

2

)2++(n+1)×(

1

2

)n，利用错位相减求和法可知Tn=3-

n+3

2n

Tn-

5n

2n+1

=3-

n+3

2n

-

5n

2n+1

=

(n+3)(2n-2n-1)

2n(2n+1)

，于是确定T_n与

5n

2n+1

的大小关系等价于比较2ⁿ与2n+1的大小．猜想当n=1，2时，2ⁿ＜2n+1，当n≥3时，2ⁿ＞2n+1．然后用数学归纳法证明．

解答：解：（1）在Sn=-an-(

1

2

)n-1+2(n∈N*)中，令n=1，可得S₁=-a₁-1+2=a₁，即a1=

1

2

当n≥2时，Sn-1=-an-1-(

1

2

)n-2+2
所以an=Sn-Sn-1=-an+an-1+(

1

2

)n-1
所以2an=an-1+(

1

2

)n-1，即2ⁿa_n=2^n-1a_n-1+1
因为b_n=2ⁿa_n，所以b_n=b_n-1+1，即当n≥2时，b_n-b_n-1=1
又b₁=2a₁=1，所以数列b_n是首项和公差均为1的等差数列
于是b_n=1+（n-1）•1=n=2ⁿa_n，所以an=

n

2n

（2）由1）得cn=

n+1

n

an=(n+1)(

1

2

)n
所以Tn=2×

1

2

+3×(

1

2

)2+…+(n+1)×(

1

2

)n①

1

2

Tn=2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3++n•(

1

2

)n+(n+1)•(

1

2

)n+1②
由①-②得

1

2

Tn=

3

2

-

n+3

2n+1

所以Tn=3-

n+3

2n

Tn-

5n

2n+1

=3-

n+3

2n

-

5n

2n+1

=

(n+3)(2n-2n-1)

2n(2n+1)

于是确定T_n与

5n

2n+1

的大小关系等价于比较2ⁿ与2n+1的大小．
猜想当n=1，2时，2ⁿ＜2n+1，当n≥3时，2ⁿ＞2n+1
下面用数学归纳法证明：
当n=3时，显然成立
假设当n=k（k≥3）时，2^k＞2k+1成立
则当n=k+1时，2^k+1=2•2^k＞2（2k+1）=4k+2=2（k+1）+1+（2k-1）＞2（k+1）+1
所以当n=k+1时，猜想也成立．
于是，当n≥3，n∈N^*时，2ⁿ＞2n+1成立
综上所述，当n=1，2时，Tn＜

5n

2n+1

，
当n≥3时，Tn＞

5n

2n+1

点评：本题考查当数列的综合运用，难度较大，解题时要认真审题，注意挖掘隐含条件，解题时要注意数学归纳法的解题过程．