Question

20.

上图是一个直三棱柱（以A₁B₁C₁为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC.已知A₁B₁＝B₁C₁＝1，∠A_lB_lC₁＝90°，AA_l＝4，BB_l＝2，CC_l＝3.

（1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A₁B₁C₁；

（2）求二面角B—AC—A₁的大小；

（3）求此几何体的体积.

Answer 1

解法一：

（1）证明：作OD//AA₁交A₁B₁于D,连C₁D.

则OD//BB₁//CC₁.

因为O是AB的中点，所以OD=(AA₁+BB₁)=3=CC₁.

则ODC₁C是平行四边形，因此有OC//C₁D,

C₁D平面C₁B₁A₁且OC平面C₁B₁A_1,则OC//平面A₁B₁C₁.

(2)如图，过B作截面BA₂C₂//面A₁B₁C₁,分别交AA₁、CC₁于A₂、C₂,

作BHA₂C₂于H，连CH.

因为CC₁面BA₂C₂,所以CC₁BH，则BH平面A₁C.

又因为,,,

所以BCAC,根据三垂线定理知CHAC，所以∠BCH就是所求二面角的平面角.

因为,所以,故,

即：所求二面角的大小为

（3）因为,所以

所求几何体体积为.

解法二：（1）如图，以B₁为原点建立空间直角坐标系，则A(0,1,4),B(0,0,2)C(1,0,3),因为O是AB的中点，所以O(0,,3),.

易知，是平面A₁B₁C₁的一个法向量。

因为 OC平面A₁B₁C₁  所以OC//平面A₁B₁C₁.

(2),,

设是平面ABC的一个法向量，则由得：，

取x=-z=1,.显然，为平面AA₁C₁C的一个法向量，

则，结合图形可知所求二面角为锐角.

所以二面角B-AC-A₁的大小是。

（3）同解法一.