Question

如图，在四棱柱ABCD-PGFE中，侧棱垂直于底面，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA=1．

（Ⅰ）求PD与BC所成角 的大小；
（Ⅱ）求证：BC⊥平面PAC；
（Ⅲ）求二面角A-PC-D的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）PD与BC为异面直线，要求它们所成角，只需平移其中的一条，使这两条直线成为相交直线即可，可通过AB的中点H，连DH，去证明DH平行BC，则DH与PD所成角即为所求，再把角放入三角形中，通过解三角形，求出角的大小．
（Ⅱ）要证明BC⊥平面PAC，只需证明BC垂直平面PAC中的两条相交直线即可，应用勾股定理，以及线面垂直的定义，可证明BC⊥AC，BC⊥PA，因为AC，PA为平面PAC内两条相交直线，所以BC⊥平面PAC．
（Ⅲ）可用空间向量来求二面角的大小，先建立空间直角坐标系，再通过求两个平面的法向量所成角的大小，极为两个平面所成角，或其补角．

解答：解：（Ⅰ）取AB的中点H，连DH，易证：BH∥CD，且BH=CD．
∴四边形BHDC为平行四边形，∴BC∥DH．
∴∠PDH为PD与BC所成角．
∵四边形ABCD为直角梯形，且∠ABC=45°，AB=2DC=2
∴AD=1，，∠Rt△PAD，，Rt△DAH，，Rt△PAH都为等腰直角三角形．
∴PD=DH=PH=

2

，∴∠PDH=60^°
（Ⅱ）连CH，则四边形ADCH为矩形，∴AH=DC=1，∵AB=2，∴BH=1，
在Rt△BHC中，∠ABC=45°
∴CH=BH=1，CB=

2

∴，AD=CH=1，AC=

2

．∴AC²+BC²=AB²∴BC⊥AC
又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，PA∩AC=A
∴BC⊥平面PAC．
（Ⅲ）分别以AD，AB，AP为x轴，y轴，z轴建立，由题设知
A（0，0，0），P（0，0，1），C（1，1，0），D（1，0，0）
∴

AP

=（0，0，1），

PC

=（1，1，-1）
设

m

=（a，b，c）为平面PAC的一个法向量．则

m • AP =0 m • PC =0

，即

c=0 a+b-c=0

设a=1，则b=-1，∴

m

=（1，-1，0）
同理，设

n

=（x，y，z）为平面PCD的一个法向量，求的

n

=（1，0，1）

点评：本题考查了立体几何中，异面直线所成角，二面角大小的求法，以及线面垂直的判定．