Question

【题目】在直角坐标系中，已知椭圆：的离心率是，斜率不为0的直线：与相交于、两点，与轴相交于点.

（1）若、分别是的左、右焦点，当经过且时，求的值；

（2）试探究，是否存在点，使得？若存在，请写出满足条件的、的关系式；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）可知满足条件的点是存在的，且.

【解析】

（1）根据条件设，代入椭圆方程可求得，利用过点的斜率公式，计算可得的值；

（2）先通过离心率是，将用表示出来，这样椭圆方程可整理为，将其和直线联立，根据，易得，设，，利用根与系数关系，代入计算可得、的关系式.

（1）因为，所以设，

代入中解得，即，

而，所以.

（2）当时，、两点在椭圆的同侧，易知，故，

因为且，故，，

设椭圆为，，，

联立方程组，化简得，

所以，，

又，，根据，易得，

于是，故，即，

故，化得，

化简得，

因为，所以上式化简得，，

综上，可知满足条件的点是存在的，且.