Question

{a_n}是首项为a1=

1

4

，公比q=

1

4

的等比数列，设bn+2=3log

1

4

an(n∈N*)，数列{c_n}满足cn=

3

bn•bn+1

．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{c_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题设知an=(

1

4

)n，bn+2=3log

1

4

an(n∈N*)=3log

1

4

(

1

4

)n=3n，由此能求出数列{b_n}的通项公式．
（Ⅱ）由cn=

3

bn•bn+1

=

3

(3n-2)(3n+1)

=

1

3n-2

-

1

3n+1

，能求出数列{c_n}的前n项和为T_n．

解答：解：（Ⅰ）∵{a_n}是首项为a1=

1

4

，公比q=

1

4

的等比数列，
∴an=(

1

4

)n，bn+2=3log

1

4

an(n∈N*)=3log

1

4

(

1

4

)n=3n，
∴b_n=3n-2．
（Ⅱ）cn=

3

bn•bn+1

=

3

(3n-2)(3n+1)

=

1

3n-2

-

1

3n+1

，
∴T_n=(1-

1

4

)+(

1

4

-

1

7

)+…+(

1

3n-2

-

1

3n+1

)
=1-

1

3n+1

．

点评：本题考查数列的递推式和数列的求和，解题时要注意裂项求和法的合理运用．