Question

已知函数f（x）=4x³+3tx²-6t²x+t-1，x∈R，其中t∈R．
（Ⅰ）当t=1时，求函数f（x）在区间[-2，0]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）当t＞0时，求f（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析：（1）当t=1时，求出函数f（x），求出导函数f'（x）=0的根，比较根的函数值与区间端点所对应的函数值，即可得到答案；
（2）根据f'（0）=0，解得x=-t或x=

t

2

，由t＞0，解不等式f'（x）＜0，即可求出f（x）的单调递减区间．

解答：解：（1）当t=1时，f（x）=4x³+3x²-6x，
∴f'（x）=12x²+6x-6，
令f'（x）=12x²+6x-6=0，解得x=-1或x=

1

2

（舍），
∴f（-2）=-8，f（-1）=5，f（0）=0，
∴函数f（x）在区间[-2，0]上的最大值为5，最小值为-8；
（2）∵f（x）=4x³+3tx²-6t²x+t-1，
∴f'（x）=12x²+6tx-6t²，
令f'（x）=0，解得x=-t或x=

t

2

，
∵t＞0，
∴-t＜

t

2

，
当f'（x）＜0时，解得-t＜x＜

t

2

，
∴当t＞0时，f（x）的单调递减区间为（-t，

t

2

）．

点评：本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究函数的单调性问题．对于利用导数求闭区间上的最值问题，一般求出导函数的根所对应的函数值与区间端点所对应的函数值比较大小即可．本题同时考查了计算能力．属于基础题．