Question

已知等差数列{a_n}中，公差d＞0，其前n项和为S_n，且满足：a₂•a₃=45，a₁+a₄=14．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令bn=

2Sn

2n-1

，f(n)=

(n+25)bn+1

bn

(n∈N*)，求f（n）的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用等差数列的通项公式建立方程组，求出数列的首项与公差，即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）求出数列的和，可得b_n=2n，从而可得函数表达式，利用基本不等式，即可得出结论．

解答：解：（1）∵数列{a_n}是等差数列，a₂•a₃=45，a₁+a₄=14
∴a₂•a₃=45，a₂+a₃=14，
∴

a2=5 a3=9

，或

a2=9 a3=5

．
∵公差d＞0，∴a₂=5，a₃=9．
∴d=a₃-a₂=4，a₁=a₂-d=1．
∴a_n=1+4（n-1）=4n-3．
（2）∵Sn=na1+

n(n-1)

2

d=2n²-n，
∴b_n=2n，
∴f(n)=

2(n+25)(n+1)

2n

=n+

25

n

+26≥2

n 25 n

+26=36，
当且仅当n=

25

n

，
即n=5时，f（n）取得最小值36．

点评：本题考查等差数列的通项与求和，考查基本不等式的运用，确定等差数列的通项是关键．