Question

（2004•河西区一模）球面上有三点A、B、C，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的

1

4

，且经过A、B、C三点的截面面积为4π，则该球面积为（　　）

• A．8

  3

  π
• B．16

  3

  π
• C．12π
• D．24π

Answer 1

分析：根据球面距离的定义，结合题意得到OA、OB、OC两两互相垂直，且AB=BC=AC．正△ABC的外接圆的半径r=2，从而算出它的高AD=

3

2

r=3，在△OBC中算出BD=

2

2

R，再利用AD=

3

BD建立等式，解出球半径R的长，利用球面积公式即可算出该球的表面积．

解答：解：∵A、B、C三点中任意两点的球面距离都等于大圆周长的

1

4

，
∴OA、OB、OC两两互相垂直，且AB=BC=AC
又∵经过A、B、C三点的截面面积为4π，∴经过A、B、C的小圆的半径r=2
即正△ABC的外接圆的半径r=2，
∴设D是BC的中点，可得正△ABC的高AD=

3

2

r=3，
设球半径为R在△OBC中，BO=CO=R，∠BOC=

π

2

，
得BC=

2

R，BD=

1

2

BC=

2

2

R．
∵正△ABC中，高AD=

3

BD
∴

3

×

2

2

R=3，解之得R=

6

因此，该球面积为S=4πR²=24π
故选：D

点评：本题给出球面上满足特殊条件的三点A、B、C，在已知三角形ABC的外接圆面积的情况下求球的表面积．着重考查了正三角形的性质、球面距离的计算和球的体积表面积公式等知识，属于中档题．