题目内容

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $数学公式$ ，且a+b=5， $数学公式$ ，则△ABC的面积为________．

$\text{[math]}$
分析：把已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，再由诱导公式及三角形的内角和定理得到cos（A+B）=-cosC，代入化简后的式子中，求出cosC的值，然后由余弦定理得到求出ab的值，再由ab和sinC的值，即可求出三角形ABC的面积．
解答：在△ABC中，∵已知 $\text{[math]}$ ，且a+b=5， $\text{[math]}$ ，
∴2[1-cos（A+B）]-2cos²C+1= $\text{[math]}$ ．
又cos（A+B）=-cosC，
∴2（1+cosC）-2cos²C+1= $\text{[math]}$ ，整理得：（2cosC-1）²=0，解得：cosC= $\text{[math]}$ ，∴C=60°．
又a+b=5，c= $\text{[math]}$ ，
由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-3ab，即7=25-3ab，解得：ab=6，
则△ABC的面积S= $\text{[math]}$ absinC= $\text{[math]}$ ，
故答案为 $\text{[math]}$ ．
点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：二倍角的余弦函数公式，诱导公式，余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及定理是解本题的关键，
属于中档题．