Question

在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是线段A₁C₁的中点，AC∩BD=F．
（Ⅰ） 求证：CE⊥BD；
（Ⅱ） 求证：CE∥平面A₁BD；
（Ⅲ） 求三棱锥D-A₁BC的体积．

Answer 1

证明：（Ⅰ）根据正方体的性质BD⊥AC，
因为AA₁⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以BD⊥AA₁，又AC∩AA₁=A
所以BD⊥平面ACC₁A₁，CE?平面ACC₁A₁，所以CE⊥BD；
（Ⅱ）连接A₁F，
因为AA₁∥BB₁∥CC₁，AA₁=BB₁=CC₁，
所以ACC₁A₁为平行四边形，因此A₁C₁∥AC，A₁C₁=AC
由于E是线段A₁C₁的中点，所以CE∥FA₁，因为FA₁?面A₁BD，CE?平面A₁BD，
所以CE∥平面A₁BD
（Ⅲ）VD-A1BC=VA1-BCD=

1

3

•S△BCD•A1A=

a3

6