Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面BB₁C₁C、BB₁A₁A为全等的矩形，并且AB=1，BB₁=2，AB⊥侧面BB₁C₁C，D为棱C₁C上异于C、C₁的一点，且DB⊥DA₁．
（1）求证：B₁D⊥平面ABD；
（2）求二面角A-DB₁-A₁的余弦值．

Answer 1

分析：（1）依题意，可知BA，BC，BB₁两两垂直，以B为坐标原点，BC为x轴，BB₁为y轴，BA为z轴建立空间坐标系，则

BD

=(1，y，0)，

DA1

=(-1，2-y，1)，由向量法能够证明B₁D⊥平面ABD．
（2）由题意A₁B₁⊥B₁D，又

B1D

=(1，-1，0)，

DA

=(-1，-1，1)，故

B1D

•

DA

=0，B₁D⊥AD，设二面角A-DB₁-A₁的大小为θ，由向量法能够求出二面角A-DB₁-A₁的大小的余弦值．

解答：（1）证明：依题意，可知BA，BC，BB₁两两垂直，
以B为坐标原点，BC为x轴，BB₁为y轴，BA为z轴建立空间坐标系，
则B（0，0，0），A（0，0，1），C（1，0，0），
B₁（0，2，0），A₁（0，2，1），C₁（1，2，0）
设D（1，y，0），则

BD

=(1，y，0)，

DA1

=(-1，2-y，1)，
∵DB⊥DA₁，

BD

•

DA1

=-1+y(2-y)=0⇒y=1
从而

B1D

=(1，-1，0)，

BD

=(1，1，0)，

BA

=(0，0，1)，
∴

B1D

•

BD

=0，

B1D

•

BA

=0，
∴B₁D⊥BD，B₁D⊥BA，
∴B₁D⊥平面ABD；
（2）解：由题意A₁B₁⊥B₁D，
又

B1D

=(1，-1，0)，

DA

=(-1，-1，1)，
∴

B1D

•

DA

=0，
∴B₁D⊥AD，
设二面角A-DB₁-A₁的大小为θ
则cosθ=|

DA • B1A1

| DA |•| B1A1 |

|=

3

3

，
即二面角A-DB₁-A₁的大小的余弦值为

3

3

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，合理地进行等价转化，注意向量法的合理运用．