Question

(12分)

已知函数（其中是自然对数的底数，为正数）

（I）若在处取得极值，且是的一个零点，求的值；

（II）若，求在区间上的最大值；

（III）设函数在区间上是减函数，求的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

（I）

（II）时，单调递减；时，单调递增

当，即时，

当，即时，

（III）

【解析】(I)由可得关于k的方程,解出k值.

(II)先求导,然后利用导数研究f(x)的单调性极值和最值.

(III)本小题的实质是在区间上恒成立,即.

解法一：

（I）由已知

（II）

由此得时，单调递减；时，单调递增

当，即时，

当，即时，

（III）

在在是减函数，

在上恒成立

即在上恒成立

在上恒成立

又当且仅当时等号成立.

解法二；（I）,（II）同解法一

（III）

在是减函数，

在上恒成立

即在上恒成立

不妨设

由于无解.

综上所述，得出，即的取值范围是