Question

【题目】已知函数．

（Ⅰ）求证：对于任意，不等式恒成立；

（Ⅱ）设函数，，求函数的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）0.

【解析】

（I）证明不等式恒成立，转化为证明，构造新函数，利用导数研究函数的单调性，即可求解；

（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知 ，要证，只需证，构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值，即可求解.

（Ⅰ）由题意，对于任意，要证，只需证，

令，则，

令，则，所以在上单调递增，

所以，即，所以在上单调递增，

所以，

故不等式恒成立．

（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知 ，

要证：，只需证，

令，则，

令，则，

所以函数在上单调递增，所以，即，

所以在上单调递增，可得，

所以，所以得证，

即，即，所以，

又，所以当时，，且时，等号成立，

故的最小值为0．