题目内容
【题目】函数
的最小值为
.
（1）求
；
（2）若
，求
及此时
的最大值.
【答案】(1) 
；(2)答案见解析.
【解析】试题分析：（1）利用同角三角函数间的基本关系化简函数解析式后，分三种情况：①
小于﹣1时②
大于﹣1而小于1时③
大于1时，根据二次函数求最小值的方法求出f（x）的最小值g（a）的值即可；（2）把
代入到第一问的g（a）的第二和第三个解析式中，求出a的值，代入f（x）中得到f（x）的解析式，利用配方可得f（x）的最大值．
试题解析：
（1）由
.这里
①若
则当
时， 
②若
当
时， 
③若
则当
时， 
因此
（2）
①若
，则有
得
，矛盾；
②若
，则有
即
或
（舍）.
时， 
此时
当
时， 
取得最大值为5.
点睛：二次函数在闭区间上必有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数图象的顶点处取到；常见题型有：（1）轴固定区间也固定；（2）轴动（轴含参数），区间固定；（3）轴固定，区间动（区间含参数）. 找最值的关键是：（1）图象的开口方向；（2）对称轴与区间的位置关系；（3）结合图象及单调性确定函数最值.
【题型】填空题
【结束】
21
【题目】已知两个不共线的向量
的夹角为
，且
为正实数.
（1）若
与
垂直，求
；
（2）若
，求
的最小值及对应的
的值，并指出此时向量
与
的位置关系.
（3）若
为锐角，对于正实数
，关于
的方程
有两个不同的正实数解，且
，求
的取值范围.
【答案】(1) 
；(2)答案见解析；(3) 
.
【解析】试题分析：（1）利用
+2
与
﹣4
垂直，（ 
+2
）（
﹣4
）=0，可得，化简，即可求出tanθ；
（2）利用二次函数的性质，可求|x
﹣
|的最小值及对应的x的值，利用数量积公式，可确定向量
与x
﹣
的位置关系；
（3）方程|x
﹣
|=|m
|，等价于9x2﹣3cosθx+1﹣9m2=0，利用关于x的方程|x
﹣
|=|m
|有两个不同的正实数解，建立不等式，即可确定结论．
试题解析：
（1）由题意，得
即
故
又
，故
因此， 
（2）
故当
时， 
取得最小值为
此时， 
故向量
与
垂直.
（3）对方程
两边平方，得
①
设方程①的两个不同正实数解为
，则由题意，得
，
解之，得
若
则方程①可以化为
，
则
即
由题知
故
令
，得
，故
，且
.
当
，且
时， 
的取值范围为
，且
}；
当
，或
时， 
的取值范围为
.
