Question

3．若函数y=x²-2ax+a在x∈[1，3]上存在反函数，且|a-1|+|a-3|≤4，则a的取值范围是[0，1]∪[3，4]．

Answer 1

分析 由反函数性质得函数y=x²-2ax+a在[1，3]上单调，从而a≥3或a≤1，由此能求出a的取值范围．

解答 解：∵函数y=x²-2ax+a在x∈[1，3]上存在反函数，
∴函数y=x²-2ax+a在[1，3]上单调，
∴对称轴x=a在区间[1，3]之外，
∴a≥3或a≤1，
当a≥3时，有a-1+a-3≤4，解得3≤a≤4；
当a≤1时，有1-a+3-a≤4，∴0≤a≤1；
综上得a的取值范围是[0，1]∪[3，4]．
故答案为：[0，1]∪[3，4]．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意反函数的性质、二次函数的单调性的合理运用．