Question

【题目】设函数（为自然对数的底数）．

（1）当时，求的最大值；

（2）当时，恒成立，证明：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析．

【解析】试题分析：（1）求出当 时，函数 的导数，求得增区间和减区间，即可得到极大值，即为最大值 ；
（2）①当 时， 即

②当 时， ，分别求出右边函数的最值或值域，即可得证a=1．

试题解析：（1）当a＝1时，f ′(x)＝－ex＋(1－x)ex＝－xex．

当x＞0时，f ′(x)＜0，f (x)在(0，＋∞)上单调递减；

当x＜0时，f ′(x)＞0，f (x)在(－∞，0)上单调递增．

故f (x)在x＝0处取得最大值．

（2）①当x∈(－∞，0)时，＜1(a－x)ex＞x＋1即a＞x＋，

令g(x)＝x＋，g′(x)＝1－＞0，则g(x)在(－∞，0)上是增函数，g(x)＜g(0)＝1，a≥1．

②当x∈(0，＋∞)时，＜1(a－x)ex＜x＋1，a＜x＋，由①知g′(x)＝，

令h(x)＝ex－x，h′(x)＝ex－1＞0，则h(x)＞h(0)＝1，g′(x)＞0，g(x)＞g(0)＝1，a≤1.

故a＝1．