Question

已知在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，向量

m

=(cosA，sinA)，

n

=(cosB，sinB)，

m

•

n

=

3

sinB-cosC．
（1）求角A的大小；
（2）若a=3，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用题设

m

•

n

的表达式利用两角和公式化简整理求得sinA的值，进而求得A．
（2）利用余弦定理根据（1）中A的值求得bc的最大值，进而利用三角形面积公式求得面积的最大值．

解答：解：（1）

m

•

n

=cosAcosB+sinAsinB，又

m

•

n

=

3

sinB+cos（A+B）=

3

sinB+cosAcosB-sinAsinB，
∴

3

sinB=2sinBsinA，sinA=

3

2

，
∴A=

π

3

或A=

2π

3

．
（2）a²=b²+c²-2bccosA，
①当A=

π

3

时，b²+c²-bc=9≥bc，∴s=

1

2

bcsinA=

3

4

bc≤

9 3

4

；
②当A=

2π

3

时，9=b²+c²+bc≥3bc，故bc≤3，∴S=

1

2

bcsinA≤

3 3

4

．

点评：本题主要考查了三角形的几何计算．考查了学生对三角函数基础知识的熟练掌握．