题目内容

（选修4-2：矩阵与变换）
已知矩阵A=
.
33
cd
.
，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1=
.
1
1
.
，属于特征值1的一个特征向量为α2=
.
3
-2
.
．求矩阵A，并写出A的逆矩阵．
由矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1=
.
1
1
.
可得
.
33
cd
.
.
1
1
.
=6
.
1
1
.
，
即c+d=6；            …（3分）
由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α2=
.
3
-2
.
，可得
.
33
cd
.
.
3
-2
.
=
.
3
-2
.
，
即3c-2d=-2，…（6分）
解得即A=
.
33
24
.
，…（8分）
∴A逆矩阵是A-1=
d
ad-bc
-b
ad-bc
-c
ad-bc
a
ad-bc
=
2
3
-
1
2
-
1
3
1
2
．
练习册系列答案
相关题目
选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵A=
ab
14
，若矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α1=
3
-1
，属于特征值5的一个特征向量为α2=
1
1
．求矩阵A，并写出A的逆矩阵．
（选修4-2：矩阵与变换）在军事密码学中，发送密码时，先将英文字母数学化，对应如下表：
a b c d … z
1 2 3 4 … 26
如果已发现发送方传出的密码矩阵为
1441
32101
，双方约定可逆矩阵为
12
34
，试破解发送的密码．
（2012•江苏一模）选做题
（A）选修4-1：几何证明选讲
如图，AB是半圆O的直径，延长AB到C，使BC=
3
，CD切半圆于点D，DE⊥AB，垂足为E，若AE：EB=3：1，求DE的长．
（B）选修4-2：矩阵与变换
在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx在矩阵
01
10
对应的变换下得到的直线经过点P（4，1），求实数k的值．
（C）选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知圆ρ=asinθ（a＞0）与直线ρcos(θ+
π
4
)=1相切，求实数a的值．
（D）选修4-5：不等式选讲
已知a，b，c满足abc=1，求证：（a+2）（b+2）（c+2）≥27．
（2013•福建）选修4-2：矩阵与变换
已知直线l：ax+y=1在矩阵A=
12
01
对应的变换作用下变为直线l′：x+by=1
（I）求实数a，b的值
（II）若点P（x0，y0）在直线l上，且A
x0
y
 
0
=
x0
y
 
0
，求点P的坐标．
（2013•南京二模）选修4-2：矩阵与变换
已知二阶矩阵A=
3       5
0    -2
．
（1）求矩阵A的特征值和特征向量；
（2）设向量β=
   1   
-1
，求A5β．

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