Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱AD=DC=3，DD₁=4，E是A₁A的中点．
（Ⅰ）求证：A₁C∥平面BED；
（Ⅱ）求二面角E-BD-A的大小；
（Ⅲ）求点E到平面A₁BCD₁的距离．

Answer 1

分析：因为是一个长方体，很容易建立空间直角坐标系，（I）先求得相关点的坐标A₁（0，0，4），C（3，3，0），
E（0，0，2），O（

3

2

，

3

2

，0)，从而得到向量的坐标

A1C

=(3，3，-4)，

EO

=(

3

2

，

3

2

，-2)，然后由共线向量定理证明即可．
（II）分别求得二个半平面的一个法向量即可，由于AE⊥平面ABCD，则

AE

=(0，0，2)就是平面ABCD的法向量．B（3，0，0），D（0，3，0），再求得平面EBD的一个法向量为，用向量的夹角公式求解．
（III）先求平面A₁BCD₁的法向量，再由点E和平面内一点构建向量，利用向量距离公式求解．

解答：解：（I）如图建立空间直角坐标系，取BD的中点O，
连接EO．
A₁（0，0，4），C（3，3，0），
E（0，0，2），O（

3

2

，

3

2

，0)（2分）

A1C

=(3，3，-4)，

EO

=(

3

2

，

3

2

，-2)，
∵

A1C

=2

EO

，∴A₁C∥EO．
∵EO?平面BED，A₁C?平面BED，
∴A₁C∥平面BED．（5分）
（II）由于AE⊥平面ABCD，
则

AE

=(0，0，2)就是平面ABCD的法向量．（6分）
B（3，0，0），D（0，3，0），

BE

=(-3，0，2)，

BD

=(-3，3，0)
设平面EBD的法向量为

n

=(x，y，z)．
由

n • BE =0 n • BD =0

得

-3x+2z=0 -3x+3y=0.

令z=3，则

n

=(2，2，3)．（7分）
cos＜

n

，

AE

＞=

n • AE

| n |•| AE |

=

6

2 17

=

3 17

17

．
∴二面角E-BD-A的大小为arrccos

3 17

17

．（9分）
（III）D₁（0，3，4），则

A1D1

=(0，3，0)，
设平面A₁BCD₁的法向量为

m

=(x′，y′，z′)．

m • A1D1 =0 m • A1C =0.

即

3y′=0 3x′+3y′-4z′=0.

解得

y′=0 x′= 4 3 z′

令z'=3，则

m

=（-4，0，-3）．
即点E到平面A₁BCD₁的距离是

6

5

．
又

CE

=(-3，-2，2)，h=|

n • CE

| m |

|=

6

5

．（14分）

点评：本题主要考查用空间坐标法来求二面角，线面平行，点到平面的距离等，作为向量法在解决立体几何中的平行，垂直，角和距离有不可比拟的优越性，要灵活运用．