Question

已知向量，且x∈[0，]，
（1）用x表示向量与的夹角大小；
（2）若f（x）=-2λ||的最小值是-，求λ的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出两个向量的数量积，再根据向量的夹角计算公式结合x∈[0，]即可得到答案；
（2）先求出函数f（x）的表达式，再利用换元法结合二次函数的最值求法即可得到答案．
解答：解：（1）•=coscos-sinsin=cos2x，…（1分）
设向量与的夹角大小为θ，则cosθ==cos2x，…（2分）
且x∈[0，]，2x∈[0，π]，所以向与的夹角大小为2x．…（4分）
（2）∵||===2cosx…（6分）
所以f（x）=•-2λ||
=cos2x-2λ×2cosx=2（cosx-λ）²-1-2λ² …（8分）
设t=cosx，则t∈[0，1]，所以g（t）=2（t-λ）²-1-2λ²
①当λ＜0时，g（t）在[0，1]上是增函数，则[f（x）]_min=[g（t）]_min=-1≠-…（10分）
②当λ∈[0，1]时，则[f（x）]_min=-1-2λ²=-，则λ=±（-不符合题意，舍去）…（12分）
③当λ＞1时，g（t）在[0，1]上是减函数，则[f（x）]_min=g（1）=1-4λ=-，λ=（不符合题意，舍去）…（14分）
综上所述，λ=…（16分）
点评：本题主要考查向量的应用以及二次函数的最值求法．是对知识的综合考查，属于中档题目，考查计算能力以及分类讨论思想．