Question

已知数列{a_n}满足a1=1，an+1=

an

an+1

(n≥1)，数列{b_n}满足b_n=lna_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）试比较

n

i=1

(ai-1)与

n

i=1

bi的大小，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）取倒数，可得{

1

an

}是以

1

a1

=1为首项，1为公差的等差数列，即可求得{

1

an

}的通项公式，从而可得数列{a_n}的通项公式．
（2）构造函数f（x）=lnx-x+1，求导研究出f（x）的单调性，即可得到结论．

解答：解：（1）∵an+1=

an

an+1

(n≥1)，∴

1

an+1

=

1

an

+1
∴

1

an+1

-

1

an

=1
∴{

1

an

}是以

1

a1

=1为首项，1为公差的等差数列
∴

1

an

=n，∴a_n=

1

n

；
（2）由（1）得a_n-1=

1

n

-1，b_n=lna_n=ln

1

n

构造函数f（x）=lnx-x+1，则f′（x）=

1-x

x

当0＜x＜1时，f'（x）＞0，f（x）在（0，1）上单调递增；
当x＞1时，f'（x）＜0，f（x）在（1，+∞）上单调递减，
∴f（x）≤f（1）=0，
即?x＞0，lnx≤x-1，当且仅当x=1时取等号，
∴ln

1

i

≤

1

i

-1，即b_i≤a_i-1，当且仅当i=1时取等号，
∴

n

i=1

(ai-1)≥

n

i=1

bi，当且仅当i=1时取等号．

点评：本题是函数与导数、数列、不等式的综合，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．