Question

若函数f（x）=sinax•cosax-sin²ax（a＞0）的图象与直线y=m相切，并且切点的横坐标依次成公差为π的等差数列．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）化简函数f（x）=sinax•cosax-sin²ax为y=

2

2

sin(2ax+

π

4

)-

1

2

，求出它的最值，图象与直线y=m相切，所以最值就是m的值；
（Ⅱ）根据周期求出a的值，然后再求函数f（x）的单调增区间．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=sinax•cosax-sin²ax（a＞0）=

1

2

sin2ax-

1-cos2ax

2

=

2

2

sin(2ax+

π

4

)-

1

2

（3分）
由题意知，m为f（x）的最大值或最小值，所以m=

2 -1

2

或m=-

2 +1

2

（6分）
（Ⅱ）由题设知，函数f（x）的周期为π，
∴a=（18分）
∴f(x)=

2

2

sin(2x+

π

4

)-

1

2

由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z得kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，k∈Z
∴f（x）的单调增区间[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]，k∈Z（12分）

点评：本题考查正弦函数的单调性，等差数列的性质，三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值，是中档题．