Question

【题目】如图，已知多面体的底面是边长为2的菱形且，平面，，.

（1）证明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见证明；（2）

【解析】

（1）连结，交于点，设中点为，连结，，推导出，，且，从而四边形是菱形，进而，平面，平面，由此能证明平面平面；（2）推导出是边长为2的等边三角形，设的中点为，连结，则，以为原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．

（1）证明：连结，交于点，设中点为，连结，.

∵、分别为、的中点，∴，且，

∵，且，∴，且.

∴四边形为平行四边形，∴，即.

∵平面，平面，所以.

∵是菱形，所以.

∵，∴平面

∵，∴平面.

∵平面，

∴平面平面.

（2）∵，四边形为菱形.故为2的等边三角形.

设的中点为，连结，则.以为原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系（如图）.

则，，，，，，.设平面的法向量为，则即

令，则，所以

设平面的法向量为，则即

令，则所以.

设二面角的大小为，由于为钝角，

所以