Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦点为F₁（-1，0），离心率为

2

2

．直线y=k（x+1）与椭圆C交于不同的两点P，Q．
（ I）求椭圆C的方程；
（ II）若OP⊥OQ（其中O为原点），求k的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）题目给出了c，由离心率求出a，结合b²=a²-c²求出b，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）设出P和Q的坐标，把智子安方程和椭圆方程联立，化为关于x的一元二次方程后利用根与系数关系求出P，Q的横坐标的和与积，由OP⊥OQ得到P，Q两点横坐标的关系，代入后可求k的值．

解答：解：（ I）由题意可知，c=1，

c

a

=

2

2

，所以a=

2

，b²=a²-c²=1，
所以，椭圆方程为

x2

2

+y2=1．
（ II）设点P的坐标为（x₁，y₁），点Q的坐标为（x₂，y₂）．
联立

x2 2 +y2=1 y=k(x+1)

消y整理得（2k²+1）x²+4k²x+2k²-2=0，△=16k⁴-4（2k²+1）（2k²-2）=8k²+8＞0，
x1+x2=-

4k2

2k2+1

，x1•x2=

2k2-2

2k2+1

，
因为OP⊥OQ，所以x₁x₂+y₁y₂=0，
又因为点P，Q在直线y=k（x+1）上，
所以y₁=k（x₁+1），y₂=k（x₂+1），
所以x1x2+y1y2=x1x2+k2(x1x2+x1+x 2+1)
=

2k2-2

2k2+1

+k2(

2k2-2

2k2+1

-

4k2

2k2+1

+1)=0，
化简得

k2-2

2k2+1

=0，
解得k=±

2

，
故k的值为±

2

．

点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想方法，训练了一元二次方程的根与系数关系，是中档题．