Question

已知圆C：（x-3）²+（y-4）²=4，直线l₁过定点A（1，0）．
（1）若l₁与圆相切，求l₁的方程；
（2）若l₁与圆相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，又l₁与l₂：x+2y+2=0的交点为N，判断AM•AN是否为定值，若是，则求出定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由直线l₁与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，求得直线方程，注意分类讨论；
（2）分别联立相应方程，求得M，N的坐标，再求AM•AN．

解答：解：（1）①若直线l₁的斜率不存在，即直线x=1，符合题意．（2分）
②若直线l₁斜率存在，设直线l₁为y=k（x-1），即kx-y-k=0．
由题意知，圆心（3，4）到已知直线l₁的距离等于半径2，
即

|3k-4-k|

k2+1

=2解之得 k=

3

4

．
所求直线方程是x=1，3x-4y-3=0．（5分）
（2）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx-y-k=0
由

x+2y+2=0 kx-y-k=0

得 N(

2k-2

2k+1

，-

3k

2k+1

)；
又直线CM与l₁垂直，

y=kx-k y-4=- 1 k (x-3)

得 M(

k2+4k+3

1+k2

，

4k2+2k

1+k2

)．

∴AM*AN=

2 |2k+1|

1+k2

1+k2

•

3 1+k2

|2k+1|

=6为定值．（10分）

点评：youy本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．