Question

已知函数f（x）=4x+1，g（x）=2x，x∈R，数列{a_n}，{b_n}，{c_n}满足条件：a₁=1，a_n=f（b_n）=g（b_n+1）（n∈N^*），．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{c_n}的前n项和T_n，并求使得对任意n∈N^*都成立的最大正整数m；
（Ⅲ）求证：．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意a_n+1=4b_n+1+1，a_n=2b_n+1，
∴a_n+1=2a_n+1，（2分）
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
∵a₁=1，
∴数列{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列．（4分）
∴．a_n+1=2×2^n-1
∴a_n=2ⁿ-1．（5分）
（Ⅱ）∵，（7分）
∴=．（8分）
∵，
∴T_n＜T_n+1，n∈N^*．
∴当n=1时，T_n取得最小值．（10分）
由题意得，得m＜10．
∵m∈Z，
∴由题意得m=9．（11分）
（Ⅲ）证明：
∵，
k=1，2，3，，n（12分）
∴．
∴（n∈N^*）．（14分）
分析：（Ⅰ）由题意a_n+1=4b_n+1+1，a_n=2b_n+1，由此可知数列{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列．从而得到a_n=2ⁿ-1．
（Ⅱ）由题设条件知，由此可知T_n＜T_n+1，n∈N^*．当n=1时，T_n取得最小值．由题意得，从而得到m=9．
（Ⅲ）证明：由题知．由此可知（n∈N^*）．
点评：本题考查数列的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答．