Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a，b，c，tanA=

1

2

，cosB=

3 10

10

．若△ABC最长的边为1，则最短边的长为

5

5

．

Answer 1

分析：由条件利用同角三角函数的基本关系求得cosA、sinA、sinB的值．利用诱导公式、两角和的余弦公式求得cosC 的值，可得C为最大角，c为最大边．再由sinA＞sinB可得 A＞B，b为最小边，再由正弦定理求得b的值．

解答：解：在△ABC中，由tanA=

1

2

，可得

sinA

cosA

=

1

2

，
再由sin²A+cos²A=1可得cosA=

2 5

5

，sinA=

5

5

．
由cosB=

3 10

10

，可得sinB=

10

10

．
故有cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=-

2 5

5

×

3 10

10

+

5

5

×

10

10

=-

2

2

，
故C=135°，故C为最大角，c为最大边，等于1．
再由sinA＞sinB可得 A＞B，故b为最小边．
再由正弦定理可得

1

sin135°

=

b

10 10

，∴b=

5

5

．
故答案为

5

5

．

点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和差的三角公式、正弦定理的应用，属于中档题．