Question

已知数列{a_n}中，，当n≥2时，其前n项和S_n满足，
（1）求S_n的表达式及的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设，求证：当n∈N且n≥2时，a_n＜b_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）：利用a_n和S_n的关系，代入变形可得．然后再用极限法则求解．
（2）：由（1）并利用a_n和S_n的关系，可解．
（3）：法1：构造函数利用函数单调性证明．
        法2：利用差比法证明．
         法3：构造函数利用函数最值证明．
解答：解：（1）
所以是等差数列．则．．
（2）当n≥2时，，综上，．
（3）令，当n≥2时，有（1）
法1：等价于求证．
当n≥2时，，令，，则f（x）在递增．
又，所以，即a_n＜b_n．
法（2）=（a-b）（a²+b²+ab-a-b）（2）==（3）
因
所以
由（1）（3）（4）知a_n＜b_n．
法3：令g（b）=a²+b²+ab-a-b，则
所以g（b）≤max{g（0），g（a）}=max{a²-a，3a²-2a}
因，则a²-a=a（a-1）＜0
所以g（b）=a²+b²+ab-a-b＜0（5）由（1）（2）（5）知a_n＜b_n
点评：本题（1）：考查数列极限的综合知识，其中注意a_n和S_n的关系．（2）考查数列通项求法．（3）考查数列函数等知识的综合应用．