Question

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）的图象关于直线x=

1

2

对称，则f（1）+f（2）+…+f（2007）=

0

．

Answer 1

分析：利用函数f（x）的图象关于直线x=

1

2

对称，得到f（

1

2

+x）=f（

1

2

-x），然后利用函数是奇函数，得到函数是周期函数，利用函数的周期性和奇偶性进行求值即可．

解答：解：∵函数f（x）的图象关于直线x=

1

2

对称，
∴f（

1

2

+x）=f（

1

2

-x），即f（x+1）=f（-x），
又f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0，且f（x+1）=f（-x）=-f（x），
∴f（x+2）=f（x），
即函数f（x）的周期是2．
当x=-1时，f（0）=f（1）=0，
∴f（1）+f（2）=f（1）+f（0）=0．
∴f（1）+f（2）+…+f（2007）=f（2007）=f（1）=0．
故答案为：0．

点评：本题主要考查函数对称性和奇偶性的应用，利用函数的奇偶性和对称性得到函数f（x）是周期函数是解决本题的关键．