Question

已知f（x）=3-4^x+2xln2，数列{a_n}满足：-

1

2

＜a1＜0， 21+an+1=f(an) (n∈N*)
（1）求f（x）在[-

1

2

，0]上的最大值和最小值；
（2）用数学归纳法证明：-

1

2

＜an＜0．

Answer 1

分析：（1）求导函数，确定函数的单调性，即可求得函数的最值；
（2）利用数学归纳法的证题步骤，关键证明n=k+1时，结论成立，需要利用归纳假设．

解答：（1）解：求导函数，可得f′（x）=（1-4^x）ln4
∵x∈[-

1

2

，0]，∴0＜1-4^x＜

1

2

，∴f′（x）＞0
∴f（x）在[-

1

2

，0]上单调递增
∴f_max（x）=f（0）=2；f_min（x）=f（-

1

2

）=

5

2

-ln2；
（2）证明：①n=1时，结论成立；
②假设当n=k时，命题成立，即-

1

2

＜ak＜0，
则n=k+1时，由（1）得21+ak+1=f（a_k）∈（

5

2

-ln2，2）
∴

2

＜

3

2

＜

5

2

-ln2＜21+ak+1＜2
∴

1

2

＜1+ak+1＜1
∴-

1

2

＜ak+1＜0，即n=k+1时命题成立
由①②可知，-

1

2

＜an＜0．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．