Question

已知函数f（x）=lnx，g(x)=

1

2

x2+t（t为常数），直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切，且l与函数f（x）图象的切点的横坐标为1，则t的值为

-

1

2

．

Answer 1

分析：根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可，再根据直线l与函数f（x）、g（x）的图象都相切建立等量关系，即可求出t的值．

解答：解：f′（x）=

1

x

，f′（1）=1，故直线l的斜率为1，
切点为（1，f（1）），即（1，0）∴l：y=x-1 ①
又∵g′（x）=x，直线l：y=x-1与函数g（x）的图象都相切
∴令g′（x）=1，解得x=1，即切点为（1，

1

2

+t）
∴l：y-（

1

2

+t）=x-1，即y=x-

1

2

+t ②
比较①和②的系数得-

1

2

+t=-1，∴t=-

1

2

．
故答案为：-

1

2

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，同时考查了转化的思想，属于中档题．