Question

已知对于任意非零实数m，不等式|5m-3|+|3-4m|≥|m|（x-

2

x

）恒成立，则实数x的取值范围是

（-∞，-1]∪（0，2]

．

Answer 1

分析：不等式 |5m-3|+|3-4m|≥|m|(x-

2

x

)恒成立，我们可变形为

1

|m|

(|5m-3|+|3-4m|)≥(x-

2

x

)恒成立，又因为根据绝对值不等式可得到左边大于等于1，从而可得到 x-

2

x

≤1，利用分式不等式的解法即可求得x的取值范围．

解答：解：已知不等式 |5m-3|+|3-4m|≥|m|(x-

2

x

)恒成立，
可变形为

1

|m|

(|5m-3|+|3-4m|)≥(x-

2

x

)恒成立，
因为对于任意非零实数m，

|5m-3|+|3-4m|

|m|

≥

|5m-3+3-4m|

|m|

=1
所以只需 x-

2

x

≤1?

(x+1)(x-2)

x

≤0
得x的取值范围为（-∞，-1]∪（0，2]，
故答案为（-∞，-1]∪（0，2]．

点评：本题的考点是函数恒成立问题，主要考查绝对值不等式的应用问题，考查分式不等式的解法，其中利用绝对值不等式得到左边大于等于1，从而可得到 x-

2

x

≤1是解题的关键．