题目内容
已知圆C的方程为x2+y2=4，过点M（2，4）作圆C的两条切线，切点分别为A、B，直线AB恰好经过椭圆T：
的右顶点和上顶点，
（Ⅰ）求椭圆T的方程；
（Ⅱ）已知直线l与椭圆T相交于P、Q两不同点，直线l方程为
，O为坐标原点，求△OPQ面积的最大值。
的右顶点和上顶点，（Ⅰ）求椭圆T的方程；
（Ⅱ）已知直线l与椭圆T相交于P、Q两不同点，直线l方程为
，O为坐标原点，求△OPQ面积的最大值。解：（Ⅰ）由题意：一条切线方程为：x=2 ，
设另一条切线方程为：
，
则：
，解得：
，
此时切线方程为：
，
切线方程与圆方程联立得：
，
则直线AB的方程为
，
令x=0，解得y=1，∴b=1；
令y=0，得x=2，
∴
，
故所求椭圆方程为
。
（Ⅱ）联立
整理得
，
令
，
，
则
，
，
，即：
，
原点到直线l的距离为
，
，∴
，
当且仅当
时取等号，
则
面积的最大值为1。
设另一条切线方程为：
，则：
，解得：
，此时切线方程为：
，切线方程与圆方程联立得：
，则直线AB的方程为
，令x=0，解得y=1，∴b=1；
令y=0，得x=2，
∴
，故所求椭圆方程为
。（Ⅱ）联立
整理得
，令
，
，则
，
，
，即：
，原点到直线l的距离为
，
，∴
，当且仅当
时取等号，则
面积的最大值为1。 
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