Question

（2011•洛阳一模）点P在抛物线x²=4y的图象上，F为抛物线的焦点，点A（-1，3），若使|PF|+|PA|最小，则相应P点的坐标为

(-1，

1

4

)

．

Answer 1

分析：利用抛物线的定义，将点P到抛物线的焦点F的距离|PF|转化为点P到其准线的距离即可．

解答：解：∵点P（x₀，y₀）在抛物线x²=4y的图象上，F为抛物线的焦点，
∴F（0，1），抛物线的准线方程为：y=-1，
设点P在抛物线的准线方程y=-1上的射影为M，
则由抛物线的定义得：|PF|=|PM|，
∴要使|PF|+|PA|最小，就是使|PM|+|PA|最小，
∵|PM|+|PA|≥|AM|，当且仅当A，P，M三点共线时取“=”．
此时，点P的横坐标x₀=-1，y₀=

x02

4

=

1

4

．
故点的坐标为（-1，

1

4

）．
故答案为：（-1，

1

4

）．

点评：本题考查抛物线的定义的灵活应用，考查转化思想与也能算能力，属于中档题．