Question

（2007•河北区一模）如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=4．E是PD的中点．
（Ⅰ）求证：平面PDC⊥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角E-AC-D所成平面角的余弦值；
（Ⅲ）求B点到平面EAC的距离．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证平面PDC⊥平面PAD，只需要证明：CD⊥平面PAD，根据PA⊥平面ABCDCD?平面ABC，可知PA⊥CD，又AD⊥CD，从而可证；
（Ⅱ）连接AC、EC，取AD中点O，连接EO，则EO∥PA，过O作OF⊥AC交AC于F，连接EF，则∠EFO就是二面角E-AC-D所成平面角，进而可求二面角E-AC-D所成平面角的余弦值；
（Ⅲ）利用V_B-AEC=V_E-ABC，可求B点到平面EAC的距离．

解答：解：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCDCD?平面ABC∴PA⊥CD…（2分）
∵ABCD是矩形∴AD⊥CD
而PA∩AD=A∴CD⊥平面PAD…（4分）
CD?平面PDC∴平面PDC⊥平面PAD…（5分）
（Ⅱ）连接AC、EC，取AD中点O，连接EO，则EO∥PA，
∵PA⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD，
过O作OF⊥AC交AC于F，连接EF，则∠EFO就是二面角E-AC-D所成平面角．…（7分）
由PA=2，则EO=1．
在Rt△ADC中，AD×CD=AC×h解得h=

4 5

5

因为O是AD的中点，所以OF=

2 5

5

…（8分）
而EO=1，由勾股定理可得EF=

3 5

5

…（9分）
cos∠EFO=

OF

EF

=

2 5 5

3 5 5

=

2

3

…（10分）
（Ⅲ）连接BE，在三棱锥B-AEC中，
S△ABC=

1

2

AB×BC=

1

2

×2×4=4S△AEC=

1

2

AC×EO=

1

2

×2

5

×

3 5

5

=3…（12分）
点E到底面BAC的距离EO=1，
则由V_B-AEC=V_E-ABC，即

1

3

S△AEChB=

1

3

S△ABC×EO…（13分）

1

3

×3×hB=

1

3

×4×1求得hB=

4

3

所以B点到平面EAC的距离是

4

3

．…（14分）

点评：本题以四棱锥为载体，考查线面、面面位置关系，考查面面角，考查点面距离，关键是作出二面角的平面角．