题目内容

例1某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时算）生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产家电产品每台所需工时和每台产值如下表：
家电名称空调机彩电冰箱
工时 $数学公式$ $数学公式$ $数学公式$
产值/千元 4 3 2
问：每周应用生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才使产值最高？最高产值多少？（以千元为单位）

解：设每周生产空调器、彩电、冰箱分别为x，y，z台，
则x+y+z=360， $\text{[math]}$ ，总产值为4x+3y+2z．
令s=4x+3y+2z
由x+y+z=360与 $\text{[math]}$ 得y=360- $\text{[math]}$ z，x= $\text{[math]}$ z
故s=4x+3y+2z=4× $\text{[math]}$ z+3×（360- $\text{[math]}$ z）+2z=1080- $\text{[math]}$ z
又z∈[60.360]
s在[60.360]上是减函数，当z=60时，取到最大值．此时x=30，y=270
故s的最大值是1080- $\text{[math]}$ ×60=1050
综上知每周生产30台空调、270台彩电、60台冰箱产值最高，最高为1050
分析：本题属于“表格”给出函数关系的数学问题，如果设每周生产空调器、彩电、冰箱分别为x，y，z台，则x+y+z=360， $\text{[math]}$ ，总产值为4x+3y+2z．本题可以从三个式子入手，通过消元将S=4x+3y+2z变成关于z的函数求其在[60，360]上的最大值．
点评：本题把总产值表示成变量z的函数后，用单调性求出最值．