题目内容
已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）为偶函数，周期为2π．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若 a∈(-
，
)，f(a+
)=
，求 sin(2a+
) 的值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若 a∈(-
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
分析：（1）由周期求出ω，由偶函数的定义结合φ 的范围求得φ 的值，从而得到函数的解析式．
（2）根据条件求得 cos（α+
）=
，再根据α+
的范围，求得 sin（α+
） 的值，再利用二倍角公式求得 sin(2a+
) 的值．
（2）根据条件求得 cos（α+
| π |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
解答：解：（1）由题意可得
=2π，解得ω=1，故函数f（x）=sin（x+φ）．
再由此函数为偶函数，可得φ=kπ+
，k∈z，结合0≤φ≤π可得φ=
，故f（x）=cosx．
（2）∵a∈(-
，
)，f(a+
)=
，∴cos（α+
）=
．
根据α+
∈（0，
），∴sin（α+
）=
．
∴sin(2a+
)=2sin（α+
）cos（α+
）=2×
×
=
．
| 2π |
| ω |
再由此函数为偶函数，可得φ=kπ+
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
（2）∵a∈(-
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
根据α+
| π |
| 3 |
| 5π |
| 6 |
| π |
| 3 |
2
| ||
| 3 |
∴sin(2a+
| 2π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
2
| ||
| 3 |
| 1 |
| 3 |
4
| ||
| 9 |
点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，偶函数的定义，二倍角公式的应用，属于中档题．
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