题目内容

已知函数f1(x)=
2x-1
x+1
，对于n∈N*，定义fn+1（x）=f1[fn（x）]，则f2011（x）=
2x-1
x+1
2x-1
x+1
．
分析：函数对于n∈N*，定义fn+1（x）=f1[fn（x）]，故f2（x）=f1[f1（x）]=f1（
2x-1
x+1
）=
x-1
x
．f3（x）=f1（
x-1
x
）=
x-2
2x-1
，f4（x）=f1（
x-2
2x-1
）=
1
1-x
，f5（x）=f1（
1
1-x
）=
x+1
2-x
，f6（x）=f1（
x+1
2-x
）=x，f7（x）=f1（x）=
2x-1
x+1
．所以从f1（x）到f6（x），每6个一循环．由此能求出结果．
解答：解：∵函数对于n∈N*，定义fn+1（x）=f1[fn（x）]，
∴f2（x）=f1[f1（x）]=f1（
2x-1
x+1
）=
2•
2x-1
x+1
-1
2x-1
x+1
+1
=
x-1
x
．
f3（x）=f1[f2（x）]=f1（
x-1
x
）=
2•
x-1
x
-1
x-1
x
+1
=
x-2
2x-1
，
f4（x）=f1[f3（x）]=f1（
x-2
2x-1
）=
2•
x-2
2x-1
-1
x-2
2x-1
+1
=
1
1-x
，
f5（x）=f1[f4（x）]=f1（
1
1-x
）=
2•
1
1-x
-1
1
1-x
+1
=
x+1
2-x
，
f6（x）=f1[f5（x）]=f1（
x+1
2-x
）=
2•
x+1
2-x
-1
x+1
2-x
+1
=x，
f7（x）=f1[f6（x）]=f1（x）=
2x-1
x+1
=f1（x）．
所以从f1（x）到f6（x），每6个一循环．
∵2011=335×6+1，
∴f2011（x）=f1(x)=
2x-1
x+1
，
故答案为：
2x-1
x+1
．
点评：本题考查函数的周期性，是基础题．解题时要认真审题，解题的关键是得到从f1（x）到f6（x），每6个一循环．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=ax2+lnx（a∈R）．
（1）当a=
1
2
时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；
（2）如果函数g（x），f1（x），f2（x），在公共定义域D上，满足f1（x）＜g（x）＜f2（x），那么就称为g（x）为f1（x），f2（x）的“活动函数”．
已知函数f1(x)=(a-
1
2
)x2+2ax+(1-a2)lnx，f2(x)=
1
2
x2+2ax．
①若在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f1（x），f2（x）的“活动函数”，求a的取值范围；
②当a=
2
3
时，求证：在区间（1，+∞）上，函数f1（x），f2（x）的“活动函数”有无穷多个．
已知函数f（x）=ax2+lnx（a∈R）．
（1）当a=
1
2
时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；
（2）如果函数g（x），f1（x），f2（x），在公共定义域D上，满足f1（x）＜g（x）＜f2（x），那么就称g（x）为f1（x），f2（x）的“活动函数”．已知函数f1(x)=(a-
1
2
)x2+2ax+(1-a2)lnx，f2(x)=
1
2
x2+2ax．若在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f1（x），f2（x）的“活动函数”，求a的取值范围．
（2011•太原模拟）已知函数f1(x)=ax，f2(x)=xa，f3(x)=logax（其中a＞0且a≠1），当x≥0且y≥0时，在同一坐标系中画出其中两个函数的大致图象，正确的是（　　）
（2013•汕头一模）已知函数f1(x)=e|x-a|，f2(x)=ebx．
（I）若f（x）=f1（x）+f2（x）-bf2（-x），是否存在a，b∈R，y=f（x）为偶函数．如果存在．请举例并证明你的结论，如果不存在，请说明理由；
〔II）若a=2，b=1．求函数g（x）=f1（x）+f2（x）在R上的单调区间；
（III ）对于给定的实数?x0∈[0，1]，对?x∈[0，1]，有|f1（x）-f2（x0）|＜1成立．求a的取值范围．
已知函数f1(x)=x+
4
x
(x≠0)，f2(x)=cosx+
4
cosx
(0＜x＜
π
2
)，f3（x）=
8x
x2+1
（x＞0），f4(x)=
9
x+2
+x(x≥-2)，其中以4为最小值的函数个数是（　　）

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