Question

已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，且过双曲线的顶点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）命题：“设、是双曲线上关于它的中心对称的任意两点， 为该双曲线上的动点，若直线、均存在斜率，则它们的斜率之积为定值”．试类比上述命题，写出一个关于椭圆的类似的正确命题，并加以证明和求出此定值；
（3）试推广（Ⅱ）中的命题，写出关于方程（，不同时为负数）的曲线的统一的一般性命题（不必证明）.

Answer 1

（1）．
（2）关于椭圆的正确命题是：设、是椭圆上关于它
的中心对称的任意两点，为该椭圆上的动点，若直线、均存在斜率，
则它们的斜率之积为定值．（定值）
（3）关于方程（，不同时为负数）的曲线的统一的一般性命题是：
设、是方程（，不同时为负数）的曲线上关于它的中心对称的任意两点，为该曲线上的动点，若直线、均存在斜率，则它们的斜率之积为定值.

试题分析：（1）设椭圆的方程为，半焦距为，
则，，
椭圆的方程为．
（2）关于椭圆的正确命题是：设、是椭圆上关于它
的中心对称的任意两点，为该椭圆上的动点，若直线、均存在斜率，
则它们的斜率之积为定值．
证明如下：
设点，，，
直线、的斜率分别为，
则，
点，在椭圆上，
，且，
， 即，
所以，（定值）
（3）关于方程（，不同时为负数）的曲线的统一的一般性命题是：
设、是方程（，不同时为负数）的曲线上关于它的中心对称的任意两点，为该曲线上的动点，若直线、均存在斜率，则它们的斜率之积为定值.
点评：中档题，求椭圆的标准方程，主要运用了椭圆的几何性质，注意明确焦点轴和a,b,c的关系。曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题（2）注意将斜率用坐标表示出来，易于发现关系。本题得到一般性结论，对指导学生学习探究很有裨益。